유한체 정의

1. 유한체 정의

수학에서 유한체(finite field) 는 아래 성질을 만족하는 2개의 연산자 (+ 덧셈, * 곱셈) 를 가진 집합이며 그 집합의 원소 수가 유한하다는 특징이 있다. 집합의 원소 갯수가 유한하기 때문에 집합 크기를 표현하는 p 값을 정할 수 있다. 이 값을 집합의 위수(order) 라고 한다.

1) a 와 b 가 집합에 속해 있으면, a+b 와 a*b 도 집합 안에 있다(집합 위에 두 연산 +, * 이 닫혀 있음).
=> 1번 성질로 집합은 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있다. 그 의미는 덧셈과 곱셈 연산의 결과가 그 집합 안에 있도록 두 연산을 정의해야 한다는 뜻이다. 예를 들어 집합 {0, 1, 2} 는 덧셈에 대해 닫혀 있지 않다. 왜냐하면 1+2=3 이고 3 은 집합 안에 없기 때문이다. 반면 집합 {-1, 0, 1} 은 일반 곱셈에 대해 닫혀 있다.

cf) 현대대수 에서는 덧셈, 곱셈에 대한 정의를 다르게 만들 수 있음. 새로운 수의 체계를 배움.

2) 집합에 0으로 표기하는 원소가 존재하고 집합 내 다른 원소 a 와 + 연산 결과는 a 다. 즉 `a+0=a` (+ 연산에 대한 항등원 존재)
3) 집합에 1로 표기하는 원소가 존재하고 집합 내 다른 원소 a 와 * 연산 결과는 a 다. 즉 `a*1=a` (* 연산에 대한 항등원 존재)
4) 집합의 원소 a 와 + 연산 결과가 0 이 되게 하는 원소 b 가 역시 집합에 속해 있고 이러한 b 를 `-a` 로 표기한다 (+ 연산에 대한 a 의 역원 `-a` 존재)
5) 0 이 아닌 집합의 원소 a 에 대해 `a*b=1` 이 되게 하는 원소 b 가 역시 집합에 속해 있고 이러한 b 를 $a^{-1}$ 로 표기한다. (* 연산에 대한 a 의 역원 $a^{-1}$ 존재).
=> 유한체에서는 나눗셈을 정의하는 것이 가장 까다로움.

2. 유한집합 정의

집합의 위수(order)가 p 이면 집합의 원소는 0, 1, 2, ... p-1 로 쓸 수 있다.
$F_p = {0, 1, 2, 3 ... p-1}$

$F_p$ 는 위수 p 의 유한체라고 읽는 특정 유한체다.
$F_{11} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}$
$F_{983} = {0, 1, 2, ... , 982}$

유한체는 반드시 소수이거나 소수의 거듭제곱(power of a prime) 을 위수로 가져야 한다.

 

출처: 밑바닥부터 시작하는 비트코인