Multivariate Distributions

EXERCISES 2.1.10

Let $X_1$ and $X_2$ have the joint pdf $f(x_1, x_2) = 15x_1^2x_2$,
$0 < x_1 < x_2 < 1$, zero elsewhere. Find the marginal pdfs and compute
$P(X_1 + X_2 \le 1)$.

 

문제에서 joint pdf가 주어졌다. 이걸 가지고 marginal pdf 들을 구해보자.
먼저 $x_2$ 의 마지널을 구해보자. $x_1$ 을 적분해야 하고, $x_2$ 는 상수취급한다.
따라서 $x_1$ 의 적분 범위는 $0 < x_1 < x_2$ 이다.

 

$\int_{0}^{x_2} 15x_1^2x_2 \ dx_1$
$= 5x_2 \int_{0}^{x_2} 3x_1^2 \ dx_1$
$= 5x_2 \left[ x_1^3 \right]_{0}^{x_2} $
$= 5x_2^4 \quad support : 0< x_2 < 1$

support 가 $0< x_2 < 1$ 이 되는 이유는 $x_1$ 에 대해 적분을 해서 다 구했으므로
$0 < x_1 < x_2 < 1$ 여기서 $x_1$ 을 빼도 된다.

 

다음 $x_1$ 의 마지널을 구해보자. $x_2$ 를 적분해야 하고, $x_1$ 은 상수취급한다.
따라서 $x_2$ 의 적분 범위는 $x_1 < x_2 < 1$ 이다.

$\int_{x_1}^{1} 15x_1^2x_2 \ dx_2$
$= 15x_1^2 \int_{x_1}^{1} x_2 \ dx_2$
$= 15x_1^2 \left [ {1 \over 2}x_2^2 \right ]_{x_1}^{1}$
$= 15x_1^2({1\over2} - {1\over2}x_1^2) \quad support : 0 < x_1 < 1$

 

다음 $P(X_1 + X_2 \le 1)$ 을 구해보자.
적분 구간을 정리해서 한번에 적분해 줘야 하는데 주어진 부등식($X_1 + X_2 \le 1$)과 각 확률변수들의 support($0 < x_1 < x_2 < 1$) 들을 적절히 조합해줘야 한다.

$0 < X_1 < X_2$
$X_2 \le 1-X_1$

이걸 통해서 다음을 구할 수 있다.

$X_1 < X_2 \le 1-X_1$

그리고 이걸 통해서 $X_1 < 1-X_1$ 을 알 수 있고 $X_1 < {1 \over 2}$ 니까
$0 < X_1 < {1 \over 2}$ 이다.

 

$X_2$ 를 먼저 적분하고 $X_1$ 을 적분해서 최대한 바깥쪽에 상수가 있게 한다.

 

$\int_{0}^{{1\over2}} \int_{x_1}^{{1-x_1}} 15x_1^2x_2 \ dx_2 \ dx_1$
$= \int_{0}^{{1\over2}} 15x_1^2 \int_{x_1}^{{1-x_1}} x_2 \ dx_2 \ dx_1$

$= \int_{0}^{{1\over2}} 15x_1^2 \{{1\over2}(1-x_1)^2 - {1\over2}x_1^2\} \ dx_1$ 

$= \int_{0}^{{1\over2}} 15x_1^2 ({1\over2} - x_1) \ dx_1$
$= \left[ {5 \over2}x_1^3 \right]_{0}^{1\over2} - \left[ 5x_1^4 \right]_{0}^{1\over2} = 0$

 

EXERCISES 2.1.13

Let $X_1, X_2$ be two random variables with joint pdf
$f(x_1, x_2) = 4x_1x_2, \ 0 < x_1 < 1, \ 0 < x_2 < 1$ zero elsewhere.
Compute $E(X_1), E(X_1^2), E(X_2), E(X_2^2), E(X_1X_2)$. Is $E(X_1X_2) = E(X_1)E(X_2)$?
Find $E(3X_2 - 2X_1^2 + 6X_1X_2)$.

 

먼저 $E(X_1)$ 을 구해보자.
$\int_{0}^{1}x_1 f(x_1) \ dx_1 $ 을 구해야한다.
내가 알고 있는건 $f(x_1, x_2)$ joint pdf 이고 $f(x_1)$ 을 구하려면 $X_1$ 의 마지널 pdf 를 구해야한다.
다시 말해 $X_2$ 를 적분하고 $X_1$ 을 상수취급한다.

 

$\int_{0}^{1} 4x_1x_2 \ dx_2 $
$= 4x_1 \int_{0}^{1} x_2 \ dx_2 $
$= 4x_1 \left[ {1\over2}x_2^2 \right]_{0}^{1} $
$= 2x_1$

 

이제 $\int_{0}^{1}x_1 f(x_1) \ dx_1 $ 에 대입을 하면
$\int_{0}^{1} 2x_1^2 \ dx_1 $
$= \left[ {2\over 3}x_1^3 \right]_{0}^{1}$
$= {2 \over 3}$

그리고 $E(X_2)$ 는 똑같이 ${2 \over 3}$ 이 된다.

 

다음, $E(X_1X_2)$ 을 구해보자.
$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} x_1x_2 (4x_1x_2) \ dx_1 \ dx_2$
$= \int_{0}^{1} 4x_2^2 \int_{0}^{1} x_1^2 \ dx_1 \ dx_2$
$= \int_{0}^{1} {4\over3}x_2^2 \ dx_2$
$= {4\over3} * {1 \over 3} = {4 \over 9}$

따라서 $E(X_1X_2) = E(X_1)E(X_2)$ 이다. 추가적으로 joint pdf $4x_1x_2$ 가 각각의 곱으로
쪼개지고 ($2x_1$, $2x_2$) support도 분리되어 있기 때문에 독립이라고 할 수 있다.

 

문제 출처 : [7th Edition] Robert V. Hogg, Joeseph McKean, Allen T Craig - Introduction to Mathematical Statistics (2012, Pearson)